Lección 1: Valoración de Derivados: Modelos y Métodos

Introducción

La valoración de derivados es un aspecto crucial para la gestión de riesgos y la toma de decisiones en los mercados financieros. La complejidad de los derivados requiere el uso de modelos y métodos matemáticos avanzados para determinar su valor justo. En esta lección, exploraremos en detalle los principales modelos y métodos utilizados para la valoración de derivados, explicando sus fundamentos teóricos, aplicaciones prácticas y ejemplos ilustrativos.

1. Fundamentos de la Valoración de Derivados

1.1 ¿Qué es la Valoración de Derivados?

La valoración de derivados implica calcular el valor justo de un contrato derivado en función de diversas variables, como el precio del activo subyacente, la volatilidad, el tiempo hasta el vencimiento, las tasas de interés y los dividendos esperados. Este proceso es esencial para los participantes del mercado para determinar precios de compra o venta, gestionar riesgos y tomar decisiones de inversión informadas.

1.2 Importancia de la Valoración Precisa

Una valoración precisa es fundamental para:

• Gestionar Riesgos: Identificar y mitigar riesgos asociados con posiciones en derivados.
• Tomar Decisiones Informadas: Ayudar a los inversores y gestores de cartera a tomar decisiones basadas en el valor real de los derivados.
• Cumplimiento Regulatorio: Cumplir con las normas contables y regulatorias que requieren la valoración de activos financieros.

2. Principales Modelos de Valoración

2.1 Modelo de Black-Scholes

El Modelo de Black-Scholes es uno de los modelos más utilizados para la valoración de opciones. Fue desarrollado por Fischer Black, Myron Scholes y Robert Merton en 1973 y proporciona una fórmula para valorar opciones europeas.

Fórmula de Black-Scholes

La fórmula para valorar una opción de compra (call) europea es:

C=S0N(d1)−Xe−rTN(d2)C = S_0 N(d_1) – X e^{-rT} N(d_2)C=S0​N(d1​)−Xe−rTN(d2​)

Donde:

• $C$ = Precio de la opción de compra
• S0S_0S0​ = Precio actual del activo subyacente
• $X$ = Precio de ejercicio de la opción
• $r$ = Tasa de interés libre de riesgo
• $T$ = Tiempo hasta el vencimiento
• $N(d)$ = Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria normal estándar
• d1d_1d1​ y d2d_2d2​ se calculan como: d1=ln⁡(S0/X)+(r+σ2/2)TσTd_1 = \frac{\ln(S_0 / X) + (r + \sigma^2 / 2) T}{\sigma \sqrt{T}}d1​=σT​ln(S0​/X)+(r+σ2/2)T​ d2=d1−σTd_2 = d_1 – \sigma \sqrt{T}d2​=d1​−σT​

Donde $\sigma$ es la volatilidad del precio del activo subyacente.

Aplicación Práctica

Ejemplo: Valorar una opción de compra europea sobre acciones de una empresa con los siguientes parámetros:

• Precio actual de la acción (S0S_0S0​): $100
• Precio de ejercicio ($X$): $105
• Tasa de interés libre de riesgo ($r$): 5% anual
• Tiempo hasta el vencimiento ($T$): 1 año
• Volatilidad ($\sigma$): 20%

Cálculos: d1=ln⁡(100/105)+(0.05+0.22/2)⋅10.21=−0.05d_1 = \frac{\ln(100 / 105) + (0.05 + 0.2^2 / 2) \cdot 1}{0.2 \sqrt{1}} = -0.05d1​=0.21​ln(100/105)+(0.05+0.22/2)⋅1​=−0.05 d2=−0.05−0.2⋅1=−0.25d_2 = -0.05 – 0.2 \cdot 1 = -0.25d2​=−0.05−0.2⋅1=−0.25

Usando tablas de la función de distribución normal: N(d1)≈0.4801N(d_1) \approx 0.4801N(d1​)≈0.4801 N(d2)≈0.4013N(d_2) \approx 0.4013N(d2​)≈0.4013

C=100⋅0.4801−105e−0.05⋅0.4013≈48.01−39.95=8.06C = 100 \cdot 0.4801 – 105 e^{-0.05} \cdot 0.4013 \approx 48.01 – 39.95 = 8.06C=100⋅0.4801−105e−0.05⋅0.4013≈48.01−39.95=8.06

El valor de la opción de compra es aproximadamente $8.06.

Tabla 2.1: Parámetros del Modelo de Black-Scholes

2.2 Modelo Binomial

El modelo binomial es otro enfoque popular para valorar opciones. Este modelo considera múltiples periodos de tiempo y utiliza un árbol binomial para modelar los posibles movimientos del precio del activo subyacente.

Construcción del Árbol Binomial

En cada paso del tiempo, el precio del activo subyacente puede moverse hacia arriba (u) o hacia abajo (d) con ciertas probabilidades (p y 1-p). Los factores de subida y bajada se calculan como:

u=eσΔtu = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}u=eσΔt​ d=e−σΔtd = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}d=e−σΔt​

Donde $\Delta t$ es el intervalo de tiempo entre los nodos del árbol.

Valoración de la Opción

La opción se valora retrocediendo desde los nodos finales del árbol hasta el nodo inicial, utilizando la fórmula de expectativa descontada:

C=e−rΔt[pCu+(1−p)Cd]C = e^{-r \Delta t} [p C_u + (1 – p) C_d]C=e−rΔt[pCu​+(1−p)Cd​]

Donde:

• $C$ = Precio de la opción en el nodo actual
• CuC_uCu​ y CdC_dCd​ = Precios de la opción en los nodos posteriores
• $p$ = Probabilidad ajustada al riesgo de un movimiento hacia arriba

Aplicación Práctica

Ejemplo: Valorar una opción de compra europea sobre acciones de una empresa con los siguientes parámetros en un modelo binomial de un solo periodo:

• Precio actual de la acción (S0S_0S0​): $100
• Precio de ejercicio ($X$): $105
• Tasa de interés libre de riesgo ($r$): 5% anual
• Tiempo hasta el vencimiento ($T$): 1 año
• Volatilidad ($\sigma$): 20%

Cálculos: u=e0.21≈1.221u = e^{0.2 \sqrt{1}} \approx 1.221u=e0.21​≈1.221 d=e−0.21≈0.818d = e^{-0.2 \sqrt{1}} \approx 0.818d=e−0.21​≈0.818 p=e0.05⋅1−0.8181.221−0.818≈0.577p = \frac{e^{0.05 \cdot 1} – 0.818}{1.221 – 0.818} \approx 0.577p=1.221−0.818e0.05⋅1−0.818​≈0.577

Árbol Binomial:

Retroceso: C=e−0.05⋅1[0.577⋅17.10+(1−0.577)⋅0]≈9.39C = e^{-0.05 \cdot 1} [0.577 \cdot 17.10 + (1 – 0.577) \cdot 0] \approx 9.39C=e−0.05⋅1[0.577⋅17.10+(1−0.577)⋅0]≈9.39

El valor de la opción de compra es aproximadamente $9.39.

Tabla 2.2: Parámetros del Modelo Binomial

3. Métodos de Valoración para Otros Derivados

3.1 Swaps

La valoración de swaps generalmente implica calcular el valor presente de los flujos de caja futuros intercambiados entre las partes.

Valoración de Swaps de Tasas de Interés:

• Calcular los flujos de caja de la parte fija y la parte variable.
• Descontar los flujos de caja al valor presente utilizando la tasa de interés apropiada.

Ejemplo: Valorar un swap de tasas de interés con los siguientes parámetros:

• Notional: $1,000,000
• Tasa fija: 5%
• Tasa variable: LIBOR
• Vencimiento: 3 años
• LIBOR actual: 4%

Cálculos:

1. Calcular los flujos de caja fijos y variables.
2. Descontar los flujos de caja al valor presente.

Tabla 3.1: Valoración de Swaps de Tasas de Interés

3.2 Opciones Exóticas

Las opciones exóticas, como las opciones asiáticas o las opciones barrera, requieren métodos de valoración más avanzados, a menudo utilizando simulaciones de Monte Carlo o modelos de árboles trinomial.

Ejemplo: Valorar una opción barrera «knock-out» con los siguientes parámetros:

• Precio actual de la acción: $100
• Precio de ejercicio: $105
• Barrera: $110
• Tasa de interés: 5%
• Volatilidad: 20%
• Tiempo hasta el vencimiento: 1 año

Cálculos: Utilizar simulaciones de Monte Carlo para modelar el precio del activo subyacente y determinar la probabilidad de alcanzar la barrera.

Tabla 3.2: Valoración de Opciones Barrera

Conclusión

La valoración de derivados es un componente esencial de la gestión de riesgos y la toma de decisiones en los mercados financieros. Los modelos y métodos como Black-Scholes y el modelo binomial proporcionan marcos sólidos para valorar opciones, mientras que la valoración de swaps y opciones exóticas puede requerir enfoques más avanzados. Una comprensión profunda de estos modelos y métodos permite a los inversores y gestores de riesgos tomar decisiones informadas y gestionar sus portafolios de manera efectiva.

Reflexión y Evaluación

Para consolidar el aprendizaje de esta lección, reflexiona sobre las siguientes preguntas:

1. ¿Qué es la valoración de derivados y por qué es importante?
2. ¿Cómo se utiliza el modelo de Black-Scholes para valorar opciones europeas?
3. ¿Qué es el modelo binomial y cómo se aplica en la valoración de opciones?
4. ¿Cuáles son los métodos utilizados para valorar swaps y opciones exóticas?

Realiza una autoevaluación y considera cómo podrías aplicar estos conocimientos en tus estrategias financieras o en tu carrera profesional. La comprensión profunda de los modelos y métodos de valoración de derivados te permitirá gestionar riesgos de manera más efectiva y tomar decisiones de inversión informadas.

Esta lección proporciona una base sólida para entender la valoración de derivados. En las próximas lecciones, exploraremos más a fondo la gestión del riesgo de mercado, riesgo de crédito y riesgo operativo, así como herramientas y tecnologías para la gestión de riesgos.