Lección 3: Regresión Lineal

Introducción

La regresión lineal es una técnica estadística utilizada para modelar la relación entre una variable dependiente y una o más variables independientes. Es una herramienta fundamental en el análisis cuantitativo, especialmente en finanzas, donde se utiliza para prever tendencias, evaluar riesgos y tomar decisiones de inversión. En esta lección, exploraremos los conceptos básicos de la regresión lineal simple y múltiple, la interpretación de los coeficientes y el análisis de los resultados. A través de ejemplos prácticos y explicaciones detalladas, aprenderás a aplicar estos métodos en el análisis financiero.

Regresión Lineal Simple

La regresión lineal simple es un modelo que describe la relación entre dos variables: una variable independiente (X) y una variable dependiente (Y). La fórmula general de la regresión lineal simple es:

Y=β0+β1X+ϵY = \beta_0 + \beta_1X + \epsilonY=β0​+β1​X+ϵ

donde:

• $Y$ es la variable dependiente.
• $X$ es la variable independiente.
• β0\beta_0β0​ es el intercepto (constante).
• β1\beta_1β1​ es la pendiente del coeficiente.
• $ϵ$ es el término de error.

1. Interpretación de los Coeficientes

• Intercepto (β0\beta_0β0​): Representa el valor esperado de $Y$ cuando $X=0$. Es el punto donde la línea de regresión cruza el eje $Y$.
• Pendiente (β1\beta_1β1​): Indica el cambio esperado en $Y$ por cada unidad de cambio en $X$.

Ejemplo Práctico: Regresión Lineal Simple

Supongamos que queremos analizar la relación entre la publicidad (X) y las ventas (Y) de una empresa. Recopilamos los siguientes datos:

Usaremos estos datos para ajustar un modelo de regresión lineal simple.

Paso 1: Cálculo de los Coeficientes

Podemos calcular los coeficientes β0\beta_0β0​ y β1\beta_1β1​ utilizando las fórmulas:

β1=n(∑XY)−(∑X)(∑Y)n(∑X2)−(∑X)2\beta_1 = \frac{n(\sum XY) – (\sum X)(\sum Y)}{n(\sum X^2) – (\sum X)^2}β1​=n(∑X2)−(∑X)2n(∑XY)−(∑X)(∑Y)​ β0=∑Y−β1(∑X)n\beta_0 = \frac{\sum Y – \beta_1(\sum X)}{n}β0​=n∑Y−β1​(∑X)​

Donde $n$ es el número de observaciones.

Calculamos los valores necesarios:

∑X=150,∑Y=325,∑XY=11500,∑X2=5500,n=5\sum X = 150, \quad \sum Y = 325, \quad \sum XY = 11500, \quad \sum X^2 = 5500, \quad n = 5∑X=150,∑Y=325,∑XY=11500,∑X2=5500,n=5

Entonces:

β1=5(11500)−(150)(325)5(5500)−(150)2=57500−4875027500−22500=87505000=1.75\beta_1 = \frac{5(11500) – (150)(325)}{5(5500) – (150)^2} = \frac{57500 – 48750}{27500 – 22500} = \frac{8750}{5000} = 1.75β1​=5(5500)−(150)25(11500)−(150)(325)​=27500−2250057500−48750​=50008750​=1.75 β0=325−1.75(150)5=325−262.55=62.55=12.5\beta_0 = \frac{325 – 1.75(150)}{5} = \frac{325 – 262.5}{5} = \frac{62.5}{5} = 12.5β0​=5325−1.75(150)​=5325−262.5​=562.5​=12.5

Por lo tanto, el modelo de regresión lineal es:

$Y=12.5+1.75X$

Paso 2: Interpretación del Modelo

• Intercepto (β0=12.5\beta_0 = 12.5β0​=12.5): Cuando la publicidad es cero, se espera que las ventas sean 12.5 unidades.
• Pendiente (β1=1.75\beta_1 = 1.75β1​=1.75): Por cada unidad adicional de gasto en publicidad, se espera que las ventas aumenten en 1.75 unidades.

Paso 3: Predicción

Podemos usar el modelo para predecir las ventas para un valor dado de publicidad. Por ejemplo, si el gasto en publicidad es 60:

$Y=12.5+1.75(60)=12.5+105=117.5$

Se espera que las ventas sean 117.5 unidades cuando el gasto en publicidad es 60 unidades.

Regresión Lineal Múltiple

La regresión lineal múltiple extiende el concepto de regresión lineal simple a múltiples variables independientes. La fórmula general es:

Y=β0+β1X1+β2X2+⋯+βkXk+ϵY = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + \cdots + \beta_kX_k + \epsilonY=β0​+β1​X1​+β2​X2​+⋯+βk​Xk​+ϵ

donde:

• $Y$ es la variable dependiente.
• X1,X2,…,XkX_1, X_2, \ldots, X_kX1​,X2​,…,Xk​ son las variables independientes.
• β0\beta_0β0​ es el intercepto.
• β1,β2,…,βk\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_kβ1​,β2​,…,βk​ son los coeficientes de las variables independientes.
• $ϵ$ es el término de error.

1. Interpretación de los Coeficientes

• Intercepto (β0\beta_0β0​): Representa el valor esperado de $Y$ cuando todas las variables independientes X1,X2,…,XkX_1, X_2, \ldots, X_kX1​,X2​,…,Xk​ son cero.
• Coeficientes (β1,β2,…,βk\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_kβ1​,β2​,…,βk​): Indican el cambio esperado en $Y$ por cada unidad de cambio en la variable independiente correspondiente, manteniendo constantes las demás variables.

Ejemplo Práctico: Regresión Lineal Múltiple

Supongamos que queremos analizar cómo la publicidad (X1) y el precio (X2) afectan las ventas (Y) de una empresa. Recopilamos los siguientes datos:

Usaremos estos datos para ajustar un modelo de regresión lineal múltiple.

Paso 1: Cálculo de los Coeficientes

Los coeficientes β0,β1\beta_0, \beta_1β0​,β1​ y β2\beta_2β2​ se calculan utilizando métodos de matrices y álgebra lineal, que normalmente se realizan con software estadístico como Excel, R o Python.

Para ilustrar el proceso, asumimos que ya hemos calculado los coeficientes:

β0=12.5,β1=1.7,β2=−3\beta_0 = 12.5, \quad \beta_1 = 1.7, \quad \beta_2 = -3β0​=12.5,β1​=1.7,β2​=−3

Por lo tanto, el modelo de regresión lineal múltiple es:

Y=12.5+1.7X1−3X2Y = 12.5 + 1.7X_1 – 3X_2Y=12.5+1.7X1​−3X2​

Paso 2: Interpretación del Modelo

• Intercepto (β0=12.5\beta_0 = 12.5β0​=12.5): Cuando la publicidad es cero y el precio es cero, se espera que las ventas sean 12.5 unidades.
• Coeficiente de Publicidad (β1=1.7\beta_1 = 1.7β1​=1.7): Por cada unidad adicional de gasto en publicidad, se espera que las ventas aumenten en 1.7 unidades, manteniendo el precio constante.
• Coeficiente de Precio (β2=−3\beta_2 = -3β2​=−3): Por cada unidad adicional en el precio, se espera que las ventas disminuyan en 3 unidades, manteniendo la publicidad constante.

Paso 3: Predicción

Podemos usar el modelo para predecir las ventas para valores dados de publicidad y precio. Por ejemplo, si el gasto en publicidad es 60 y el precio es 2:

$Y=12.5+1.7(60)-3(2)=12.5+102-6=108.5$

Se espera que las ventas sean 108.5 unidades cuando el gasto en publicidad es 60 unidades y el precio es 2 unidades.

Análisis de Resultados de la Regresión

Una vez que hemos ajustado un modelo de regresión, es crucial analizar los resultados para evaluar su calidad y validez.

1. Coeficiente de Determinación (R²)

El coeficiente de determinación R2R²R2 mide la proporción de la variabilidad en la variable dependiente que es explicada por las variables independientes del modelo.

R2=1−SSresSStotR² = 1 – \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}R2=1−SStot​SSres​​

donde:

• SSresSS_{res}SSres​ es la suma de los cuadrados de los residuos.
• SStotSS_{tot}SStot​ es la suma de los cuadrados totales.

Interpretación:

• R2R²R2 cercano a 1 indica que el modelo explica bien la variabilidad de los datos.
• R2R²R2 cercano a 0 indica que el modelo no explica bien la variabilidad de los datos.

Ejemplo: Supongamos que el coeficiente de determinación para nuestro modelo de publicidad y ventas es R2=0.95R² = 0.95R2=0.95. Esto significa que el 95% de la variabilidad en las ventas es explicada por la publicidad y el precio.

2. Análisis de Varianza (ANOVA)

El ANOVA se utiliza para analizar las diferencias entre los grupos y evaluar la significancia del modelo de regresión.

• Suma de Cuadrados de la Regresión (SSR): Mide la variabilidad explicada por el modelo.
• Suma de Cuadrados de los Residuos (SSE): Mide la variabilidad no explicada por el modelo.
• Suma de Cuadrados Totales (SST): La suma de SSR y SSE.

$SST=SSR+SSE$

F-Estadístico: Se utiliza para probar la significancia global del modelo.

F=SSR/kSSE/(n−k−1)F = \frac{\text{SSR/} k}{\text{SSE/} (n-k-1)}F=SSE/(n−k−1)SSR/k​

donde:

• $k$ es el número de variables independientes.
• $n$ es el tamaño de la muestra.

Interpretación: Un $F$ alto sugiere que el modelo es significativo.

Ejemplo: Supongamos que el análisis de varianza para nuestro modelo muestra un $F$-estadístico de 35.4 con un valor p < 0.05, lo que indica que el modelo es significativo.

3. Evaluación de los Residuos

Los residuos son las diferencias entre los valores observados y los valores predichos por el modelo. Analizar los residuos es crucial para validar las suposiciones del modelo de regresión.

Gráfico de Residuos: Un gráfico de residuos vs. valores predichos ayuda a identificar patrones y evaluar la homocedasticidad (constancia de la varianza de los errores).

Prueba de Normalidad: Se puede utilizar una prueba de normalidad, como la prueba de Shapiro-Wilk, para evaluar si los residuos siguen una distribución normal.

Ejemplo: Si los residuos de nuestro modelo de publicidad y ventas muestran un patrón aleatorio en el gráfico de residuos y pasan la prueba de normalidad, podemos estar más seguros de que nuestro modelo es adecuado.

Aplicaciones de la Regresión Lineal en Finanzas

La regresión lineal se utiliza ampliamente en finanzas para diversas aplicaciones, como la valoración de activos, la gestión de riesgos y la previsión financiera.

1. Valoración de Activos

La regresión lineal puede ayudar a valorar activos financieros modelando la relación entre el precio de un activo y sus determinantes.

Ejemplo: Un analista puede usar la regresión lineal múltiple para valorar una acción en función de sus fundamentales, como ganancias por acción (EPS), dividendos y crecimiento de ingresos.

2. Gestión de Riesgos

La regresión lineal se utiliza para modelar y prever riesgos financieros.

Ejemplo: Un gestor de riesgos puede usar la regresión lineal para modelar la relación entre el rendimiento de un portafolio y factores de riesgo como el índice del mercado, las tasas de interés y las tasas de cambio.

3. Previsión Financiera

La regresión lineal es una herramienta poderosa para prever métricas financieras, como ingresos, beneficios y costos.

Ejemplo: Un gerente financiero puede usar la regresión lineal para prever los ingresos futuros de una empresa en función de sus gastos de marketing y precios de productos.

Conclusión

La regresión lineal es una herramienta estadística esencial en el análisis cuantitativo, especialmente en finanzas. Permite modelar relaciones entre variables, prever tendencias y tomar decisiones informadas. A través de la regresión lineal simple y múltiple, y el análisis de los resultados, los profesionales financieros pueden evaluar la validez de sus modelos y aplicar estos conocimientos en diversas aplicaciones financieras. Con una comprensión sólida de estos conceptos, estarás bien preparado para utilizar la regresión lineal en tu análisis financiero y tomar decisiones basadas en datos.

Lecturas Recomendadas:

• «Applied Linear Statistical Models» por Michael H. Kutner, Christopher J. Nachtsheim y John Neter.
• «An Introduction to Statistical Learning» por Gareth James, Daniela Witten, Trevor Hastie y Robert Tibshirani.
• «Regression Analysis by Example» por Samprit Chatterjee y Ali S. Hadi.

Ejercicio Práctico:

1. Regresión Lineal Simple con Excel:
   • Recopilar datos históricos de precios de una acción y un índice del mercado.
   • Utilizar Excel para calcular los coeficientes de la regresión lineal simple y ajustar el modelo.
   • Interpretar los coeficientes y evaluar la calidad del modelo utilizando R2R²R2 y ANOVA.
2. Regresión Lineal Múltiple con Python:
   • Usar pandas y scikit-learn para importar y preprocesar datos financieros.
   • Ajustar un modelo de regresión lineal múltiple y calcular los coeficientes.
   • Evaluar el modelo mediante análisis de residuos y pruebas de significancia.

Esta lección te proporciona una comprensión integral de la regresión lineal y su aplicación en el análisis financiero.