Lección 1: Modelos de Valoración de Activos

Introducción

La valoración de activos es una parte fundamental de las finanzas cuantitativas. Permite a los inversores y analistas determinar el valor intrínseco de diversos instrumentos financieros, como acciones, bonos y opciones. En esta lección, exploraremos dos de los modelos más importantes para la valoración de activos: el modelo de Black-Scholes y el modelo binomial para la valoración de opciones. También discutiremos los modelos de valoración de bonos y acciones, proporcionando ejemplos detallados y aplicaciones prácticas.

Modelos de Valoración de Opciones

Las opciones son derivados financieros que proporcionan al titular el derecho, pero no la obligación, de comprar o vender un activo subyacente a un precio específico antes de una fecha determinada. La valoración precisa de opciones es crucial para la toma de decisiones de inversión y la gestión de riesgos.

1. Modelo de Black-Scholes

El modelo de Black-Scholes, desarrollado por Fischer Black y Myron Scholes en 1973, es uno de los métodos más reconocidos para valuar opciones. Este modelo asume que los precios de los activos siguen un proceso estocástico conocido como movimiento browniano geométrico.

Fórmula del Modelo de Black-Scholes para una Opción de Compra (Call):

$C = S_0N(d_1) – Xe^{-rT}N(d_2)$

donde:

$d1=ln⁡(S0/X)+(r+σ2/2)TσTd_1 = \frac{\ln(S_0 / X) + (r + \sigma^2 / 2)T}{\sigma \sqrt{T}}$ $d2=d1−σTd_2 = d_1 – \sigma \sqrt{T}$

Variables:

$C$ : Precio de la opción de compra.
$S_0$ : Precio actual del activo subyacente.
$X$ : Precio de ejercicio de la opción.
$r$ : Tasa de interés libre de riesgo.
$T$ : Tiempo hasta el vencimiento de la opción.
$σ\sigma$ : Volatilidad del precio del activo subyacente.
$N (d)$ : Función de distribución acumulativa de una distribución normal estándar.

Ejemplo Práctico: Supongamos que queremos valorar una opción de compra con las siguientes características:

$S_0 = 100$
$X = 105$
$r = 0.05$
$T = 1$ año
$σ=0.2\sigma = 0.2$

Calculamos los valores de $d_1$ y $d_2$ :

$d1=ln⁡(100/105)+(0.05+0.22/2)⋅10.21=−0.0488+0.070.2=0.02120.2=0.106d_1 = \frac{\ln(100 / 105) + (0.05 + 0.2^2 / 2) \cdot 1}{0.2 \sqrt{1}} = \frac{-0.0488 + 0.07}{0.2} = \frac{0.0212}{0.2} = 0.106$ $d_2 = 0.106 – 0.2 = -0.094$

Usando tablas de distribución normal, encontramos $N(d_1) = 0.542$ y $N(d_2) = 0.462$ .

Finalmente, calculamos el precio de la opción de compra:

$\cdot 0.542 – 105 \cdot e^{-0.05 \cdot 1} \cdot 0.462 = 54.2 – 46.9 = 7.3$

El precio de la opción de compra es aproximadamente $7.30.

2. Modelo Binomial

El modelo binomial valora opciones dividiendo el tiempo hasta el vencimiento en varios intervalos (pasos), y en cada paso el precio del activo subyacente puede subir o bajar según ciertos factores de probabilidad.

Conceptos Básicos:

Paso: Cada intervalo de tiempo en el modelo.
Factor de aumento ( $u$ ) y disminución ( $d$ ): Factores por los cuales el precio del activo subyacente puede cambiar en cada paso.
Probabilidad de aumento ( $p$ ): Probabilidad ajustada de riesgo de que el precio suba en cada paso.

Fórmula del Precio de la Opción en el Último Paso:

$C = e^{-rT} [pC_u + (1 – p)C_d]$

donde:

$C_u$ : Valor de la opción si el precio sube.
$C_d$ : Valor de la opción si el precio baja.
$p$ : Probabilidad ajustada de riesgo.
$r$ : Tasa de interés libre de riesgo.
$T$ : Tiempo hasta el vencimiento de la opción.

Ejemplo Práctico: Supongamos que queremos valorar una opción de compra con las siguientes características:

$S_0 = 100$
$X = 105$
$r = 0.05$
$T = 1$ año
$σ=0.2\sigma = 0.2$
Número de pasos ( $n$ ) = 2

Calculamos $u$ y $d$ :

$e^{\sigma \sqrt{\frac{T}{n}}} = e^{0.2 \sqrt{0.5}} = 1.105$ $e^{-\sigma \sqrt{\frac{T}{n}}} = e^{-0.2 \sqrt{0.5}} = 0.905$

Calculamos $p$ :

$\frac{e^{r \frac{T}{n}} – d}{u – d} = \frac{e^{0.05 \cdot 0.5} – 0.905}{1.105 – 0.905} = \frac{1.0253 – 0.905}{0.2} = 0.6025$

Construimos el árbol binomial de precios:

$100u2=121100u=110.5100d=90.5100\begin{array}{ccc} & 100u^2 = 121 & \\ 100u = 110.5 & & 100d = 90.5 \\ & 100 & \\ \end{array}$

Calculamos los valores finales de la opción:

$C_u = \max(121 – 105, 0) = 16$ $C_d = \max(90.5 – 105, 0) = 0$

Calculamos el valor de la opción en el primer paso:

$e^{-0.05 \cdot 0.5} [0.6025 \cdot 16 + (1 – 0.6025) \cdot 0] = 0.975 \cdot 9.64 = 9.39$

Por lo tanto, el precio de la opción de compra es aproximadamente $9.39.

Modelos de Valoración de Bonos

Los bonos son instrumentos de deuda emitidos por entidades como gobiernos o corporaciones. La valoración de bonos es crucial para los inversores que desean determinar su valor justo y tomar decisiones informadas sobre inversiones.

1. Valoración de Bonos con Cupón

Un bono con cupón paga intereses periódicamente (cupón) y devuelve el principal al vencimiento. El valor presente de un bono con cupón es la suma del valor presente de los pagos de cupones y el valor presente del principal al vencimiento.

Fórmula:

$\sum_{t=1}^{T} \frac{C}{(1 + r)^t} + \frac{F}{(1 + r)^T}$

donde:

$P$ : Precio del bono.
$C$ : Pago del cupón.
$r$ : Tasa de interés (rendimiento del bono).
$F$ : Valor nominal del bono.
$T$ : Número de períodos hasta el vencimiento.

Ejemplo Práctico: Supongamos que queremos valorar un bono con las siguientes características:

Valor nominal $F = $1000$
Cupón anual $C = $50$
Tasa de interés $5\%$
Tiempo hasta el vencimiento $T = 5$ años

Calculamos el precio del bono:

$\sum_{t=1}^{5} \frac{50}{(1 + 0.05)^t} + \frac{1000}{(1 + 0.05)^5}$

Calculamos cada término individualmente:

$50(1+0.05)1=501.05=47.62\frac{50}{(1 + 0.05)^1} = \frac{50}{1.05} = 47.62$ $50(1+0.05)2=501.1025=45.35\frac{50}{(1 + 0.05)^2} = \frac{50}{1.1025} = 45.35$ $50(1+0.05)3=501.1576=43.13\frac{50}{(1 + 0.05)^3} = \frac{50}{1.1576} = 43.13$ $50(1+0.05)4=501.2155=41.03\frac{50}{(1 + 0.05)^4} = \frac{50}{1.2155} = 41.03$ $50(1+0.05)5=501.2763=39.07\frac{50}{(1 + 0.05)^5} = \frac{50}{1.2763} = 39.07$ $1000(1+0.05)5=10001.2763=783.53\frac{1000}{(1 + 0.05)^5} = \frac{1000}{1.2763} = 783.53$

Sumamos los valores presentes:

$P = 47.62 + 45.35 + 43.13 + 41.03 + 39.07 + 783.53 = 999.73$

El precio del bono es aproximadamente $999.73.

2. Valoración de Bonos Cero Cupón

Un bono cero cupón no paga intereses periódicos, pero se vende con un descuento y paga su valor nominal al vencimiento.

Fórmula:

$\frac{F}{(1 + r)^T}$

Ejemplo Práctico: Supongamos que queremos valorar un bono cero cupón con las siguientes características:

Valor nominal $F = $1000$
Tasa de interés $5\%$
Tiempo hasta el vencimiento $T = 5$ años

Calculamos el precio del bono:

$\frac{1000}{(1 + 0.05)^5} = \frac{1000}{1.2763} = 783.53$

El precio del bono es aproximadamente $783.53.

Modelos de Valoración de Acciones

La valoración de acciones es crucial para los inversores que buscan determinar el valor intrínseco de una empresa. Los modelos más comunes incluyen el modelo de descuento de dividendos (DDM) y el modelo de flujo de caja descontado (DCF).

1. Modelo de Descuento de Dividendos (DDM)

El DDM valora una acción basándose en la premisa de que el valor de la acción es igual al valor presente de todos sus futuros dividendos.

Fórmula del Modelo de Crecimiento de Gordon:

$P0=D0(1+g)r−gP_0 = \frac{D_0 (1 + g)}{r – g}$

donde:

$P_0$ : Precio actual de la acción.
$D_0$ : Dividendo actual.
$g$ : Tasa de crecimiento de los dividendos.
$r$ : Tasa de descuento (rendimiento requerido).

Ejemplo Práctico: Supongamos que queremos valorar una acción con las siguientes características:

Dividendo actual $D_0 = $2$
Tasa de crecimiento de los dividendos $3\%$
Tasa de descuento $8\%$

Calculamos el precio de la acción:

$P0=2(1+0.03)0.08−0.03=2.060.05=41.2P_0 = \frac{2 (1 + 0.03)}{0.08 – 0.03} = \frac{2.06}{0.05} = 41.2$

El precio de la acción es aproximadamente $41.20.

2. Modelo de Flujo de Caja Descontado (DCF)

El modelo DCF valora una acción basándose en el valor presente de todos los flujos de caja futuros que la empresa generará.

Fórmula:

$P0=∑t=1nFCFt(1+r)tP_0 = \sum_{t=1}^{n} \frac{FCF_t}{(1 + r)^t}$

donde:

$P_0$ : Precio actual de la acción.
$FCF_t$ : Flujo de caja libre en el año $t$ .
$r$ : Tasa de descuento.
$n$ : Número de años proyectados.

Ejemplo Práctico: Supongamos que queremos valorar una empresa con los siguientes flujos de caja proyectados y una tasa de descuento del 10%:

Año	Flujo de Caja Libre (FCF)
1	$100
2	$110
3	$121
4	$133
5	$146

Calculamos el valor presente de cada flujo de caja:

$100(1+0.10)1=90.91\frac{100}{(1 + 0.10)^1} = 90.91$ $110(1+0.10)2=90.91\frac{110}{(1 + 0.10)^2} = 90.91$ $121(1+0.10)3=90.91\frac{121}{(1 + 0.10)^3} = 90.91$ $133(1+0.10)4=90.91\frac{133}{(1 + 0.10)^4} = 90.91$ $146(1+0.10)5=90.91\frac{146}{(1 + 0.10)^5} = 90.91$

Sumamos los valores presentes:

$P_0 = 90.91 + 90.91 + 90.91 + 90.91 + 90.91 = 454.55$

El valor de la empresa es aproximadamente $454.55.

Conclusión

La valoración de activos es una habilidad esencial en las finanzas cuantitativas. A través de modelos como Black-Scholes, el modelo binomial, los modelos de valoración de bonos y las metodologías de valoración de acciones como DDM y DCF, los inversores y analistas pueden determinar el valor intrínseco de diversos instrumentos financieros. Estos modelos no solo ayudan a identificar oportunidades de inversión, sino que también proporcionan una base sólida para la toma de decisiones informadas en la gestión de portafolios y la evaluación de riesgos. Con una comprensión profunda de estos conceptos, estarás bien preparado para aplicar técnicas avanzadas de valoración en tus análisis financieros y mejorar tu capacidad para tomar decisiones de inversión acertadas.

Lecturas Recomendadas:

«Options, Futures, and Other Derivatives» por John C. Hull.
«Fixed Income Analysis» por Frank J. Fabozzi.
«Valuation: Measuring and Managing the Value of Companies» por McKinsey & Company Inc., Tim Koller, Marc Goedhart, y David Wessels.

Ejercicio Práctico:

Valuación de una Opción con el Modelo de Black-Scholes:
- Recopilar datos sobre el precio de una acción, el precio de ejercicio, la volatilidad, la tasa de interés y el tiempo hasta el vencimiento.
- Utilizar el modelo de Black-Scholes para calcular el precio de la opción de compra y de venta.
Valuación de un Bono con Cupón:
- Recopilar datos sobre el valor nominal, el cupón anual, la tasa de interés y el tiempo hasta el vencimiento de un bono.
- Calcular el precio del bono utilizando la fórmula de valoración de bonos con cupón.
Valuación de una Acción con el Modelo DCF:
- Proyectar los flujos de caja libres de una empresa para los próximos cinco años.
- Calcular el valor presente de los flujos de caja y sumar los valores presentes para determinar el valor intrínseco de la empresa.

Esta lección te proporciona una comprensión integral de los modelos de valoración de activos y su aplicación en el análisis financiero.

Curso de Análisis Cuantitativo para Inversiones

Currículum

Lección 1: Modelos de Valoración de Activos

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